资产组合的均值方差分析

1.标准的均值一方差资产组合问题及EXCEL求解方法

1.资产组合的均值方差模型 

我们假设投资者的偏好用一个定义在资产组合收益率的均值和方差的间接效用函数来表示,投资于无风险资产的比例为,投资于风险资产的比例用向量表示,我们得到资产组合的期望收益率和方差是:

                                                                 

                                                       

我们来看EXCEL如何使资产组合问题分析变得方便。假设七个股票的权重为位于表单的$A$9:$G$9,预期收益位于$A$1:$G$1。则由公式

MMULT(A9:G9,TRANSPOSE(A1:G1))就可得到投资组合的预期收益。注意含矩阵的公式输入时不只以回车键输入结束,还需加上Ctrl+Shift,且3个键同时输入,。采用类似的方法,可以得到投资组合的方差(见图1)。

 

资产组合的收益与方差

 

 

 

标准的假设是期望越高,方差越小,效用越大,即在这样的假设下,对投资者来说,潜在的最优资产组合包含在对确定方差有最大期望收益率,同时对确定的期望收益率,有最小的方差的资产组合之中。同时满足上面条件的资产组合称为均值--方差有效资产组合,我们还给出一个更大的资产组合类——最小方差资产组合,如果一个资产组合对确定的期望收益率水平有最小的方差,那么该资产组合为最小方差资产组合。

 

下面,我们来求出标准均值方差资产组合问题下的有效资产组合,即无风险资产不存在下的最小方差资产组合。期望收益率是的最小方差资产组合是下面问题的解

                  4a

s.t                     (4b)

                (4c)

这里目标函数中的12是为了计算上的方便。没有对施加非负限制是因为允许无限制的卖空。

2.给定期望收益率下的有效组合求解方法

我们应用Lagrange乘数法求解,令

最优解的一阶条件为:

                               

以及(4b)和(4c)

由上述方程求得最优解:

                   (5)

 

。从(4b)和(4c)可以解得

其中

                   6

(注意,由为非退化及,应用Cauchy-Schwarz不等式可以证明,从而方程有解。若,则,此时除外方程无解。当时,由于所有资产期望收益率相同,因此应将资金投资于风险最小的资产)

仍然采用前面的给定数据,则可以采用EXCEL求得ABC的数据分别为0.0030.0571.1800.001366.082-4.162,相应地得到优化给定预期收益率情形下,最优资产配置为0.344 0.141 0.039 0.209 0.108 0.137 0.022(见2

采用EXCEL计算最优资产配置

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

最优资产配置问题的最简单计算就是直接使用EXCEL提供的“规划求解”功能。在表单$A$9:$G$9中输入任意一组表示投资组合的参数,$B$11表示投资组合的预期收益,假设希望达到的收益率为16%,则第一个约束条件为$B$11=16,第2个约束条件为$B$14=1,表示投资组合的权重和为1,目标函数则为投资组合的方差最小,点击确定就可以得到与公式求解一致的最优资产配置(见图3)。

 

3 使用EXCEL规划求解计算最优的资产配置

 

 

 

3.最小方差组合的基金分离定理

由(4)(5)和(6),最小方差集的方程表示是:

7

在方差一均值坐标系下,它是抛物线方程;在标准差一均值坐标系中,它是双曲线方程.

为了求全局最小方差资产组合,令

    

解得,即全局最小方差资产组合的期望收益率是,方差是。把代入(6)得到。所以全局最小方差资产组合是:

                                            

双曲线的渐近线斜率能从 时计算得到:

                                                  

从(5)中我们可以看到最小方差资产组合由两个不同的资产组合线性组合得到,假设,我们定义

称为可分散化的资产组合。此时由(5)得任意有效资产组合表示为:

                                        8

即有效资产组合资金完全由表示。

总结以上讨论,我们得到:

定理  (基金分离定理)任一最小方差资产组合都可以唯一地表示成全局最小方差资产组合和可分散化资产组合的资产组合

其中,且的收益和方差满足关系式:

这一关系式就是所有有效资产组合的期望收益率与风险所满足的抛物线方程。

从上面的定理我们看到,所有最小方差资产组合都可仅由两个不同资产组合的资产组合所生成,所以这个定理称为基金分离定理。因为在这种情况下,所有在期望收益率与方差之间进行权衡的投资者能够通过持有由构成的资产组合获得最优决策,而不涉及投资者各自的偏好。

 

 

 

 

正如名称所示,全局最小方差资产组合g位于双曲线的顶点。下面我们来确定另一个资产组合d的位置。

代入(4c)得:

                            

故两个资产组合的收益率期望之差为

                               

其中.一般说来,的符号难以确定,但是,如果认为全局最小方差资产组合的期望收益率为正,那么,我们一般假设这个条件是满足的,所以此时在双曲线的上半叶上。(注意,资产的有限责任不能保证是正的,因为全局最小方差资产组合可能会卖空某些资产。)

下面我们给出基金分离定理的更一般形式。任意两个不同的最小方差资产组合都可以取代,而且具有相同的基金分离作用,证明如下:如果是两个最小方差资产组合,那么由(8),

,从而

                          

容易验证系数之和为1,从而可以取代。给定期望收益率,最小方差组合中的任一资产i的权重的线性函数。这是因为把(6)中中代入(8)得到:

                

一般情形下,因此如果对有效资产组合的期望收益要求越高,投资者将持有在组合中的权重之差越大的资产。对每种资产i,都可以找到一种最小方差资产组合,使资产i在该最优组合的权重是0。求解方法只需令(13)中即可。

4.最小方差资产组合的协方差性质

全局最小方差资产组合的一个性质是它与任何资产或资产组合的协方差都为 

                                

对其他的最小方差资产组合,协方差的范围是  ,下面来证明这一点。令表示任意两个最小方差资产组合,则其协方差为:

分析上面的协方差表达式,可以看到,对于双曲线上半叶一固定的资产组合,当增加时,协方差从∞增加到+∞,即资产组合在标准情况下沿双曲线移动,与a不相关的资产组合位于下半叶,对下半叶固定的资产组合,有类似的性质成立。

对于上半叶中的固定资产组合∞增加到时,相关系数从 增加到1,当趋于∞时,相关系数趋于   

2.资产组合的均值方差模型—允许借货的情形

1.允许借贷下的资产组合管理模型

当可以从资本市场或货币市场获得无风险资产时,资产组合问题有两个方面的变化。首先,关于风险资产没有了象(4)这样的预算限制,若投资者在无风险资产的投资权重为正,则表示储蓄,若为负,则表示为购买风险资产而借入资金。其次,关于期望收益率的约束函数必须表达成超额收益率形式:

                             4c 

这是由于,期望收益率是指由风险资产部分以及无风险资产共同构成的资产的收益率,即

这样,具有无风险资产的最小方差资产组合问题可以表示为以下形式:

s.t 

利用Lagrange乘数法,令

最优解的一阶条件为:

解得                               9

  ,并进一步得到

到之处 10

由(9),(4c’,10),最小方差资产组合的方差为

这就是最小方差资产组合的期望收益率与方差关系的解析形式。在方差-均值坐标系中,这是一条抛物线;在标准差-均值坐标系中,它是在处相交,斜率为的两条射线。

2.无风险资产、切点资产组合与基金分离定理

同不存在无风险资产的基金分离定理一样,在存在无风险资产的情形下所有最小方差资产组合是两个不同的资产组合的重新组合,这两个组合就是无风险资产组合和不含无风险资产的资产组合

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其中表示该组合中无风险资产的权重。切点资产组合的均值和方差分别是

,              

资产组合是过的双曲线的切点,这可通过计算在该点双曲线的斜率得到验证。设过的任一直线方程为,代入(6)求得相切时的斜率,正好与存在风险资产的有效边界相一致,并可求得切点处的期望收益率为,这也进一步证明了就是切点组合。一般说来切点资产组合位于双曲线的上半叶。而切点位于下半叶也是可能的。如果无风险收益率小于(大于)只有风险资产的全局最小方差资产组合的期望收益,那么切点资产组合位于上(下)半叶,即或相反的不等式成立。为了证明这一点,我们计算:

                                                 

所以同号。(注:当时,即全局最小方差资产组合与无风险资产组合的期望收益率相同时,不存在切点资产组合,且最小方差轨迹与仅含风险资产的双曲线的渐近线轨迹重合)

同不存在无风险资产下的基金分离定理一样,我们还可以进一步证明,除了无风险资产与切点组合之外,任何两个不同的最小方差资产组合都可以表示其他的最小方差组合。