Goldman Saches模型(又称Black-Litterman模型)

Markowitz基于均值方差模型的资产组合问题需要估计所有单个资产的预期收益率和资产间的协方差矩阵。这些参数的估计包括历史数据法和情景分析法两种方法。情景分析法的缺点是主观原因、随意性太强,因此大多数分析软件鼓励采用历史数据法。如果采用历史数据法,以预期收益率为例,对样本区间非常敏感。站在2003年底时点估计中国股市的预期收益率,如果采样20022003,则估计的预期收益率为10.3%如果采样20012003,则估计的预期收益率为-4.63%,得到的结果显然没有意义,因为风险资产的预期收益率居然为负;如果采样19982003,则估计的预期收益率为5.3%如果采样19902003,则估计的预期收益率为23.2%。如果参数不一样,模型的输出结果显然有大的差异。高盛(Goldman Sachs)Fisher BlackRobert Litterman1991)对全球债券投资组合研究中发现,当他们对德国债券预期报酬率做0.1%小幅修正后,竟然发现该类资产的投资比例由原来的10.0%提高至55.0%

针对资本市场预期不同方法的缺点,BlackLitterman提出了一个基于Markowitz模型的改进模型,他们的模型特点是:(1削弱了对输入参数的高度敏感性的弱点。BlackLitterman假定资本市场是均衡的,运用市场风险回避系数、资产协方差和可观察到的指数权重推出隐含的资本市场预期。即根据市场可观察信息推出隐含参数,其逻辑与由Black-Scholes公式推出隐含波动率一致。(2导入了投资者对某项资产的主观预期,使得根据市场历史数据计算预期收益率和投资者的看法结合在一起,形成一个新的市场收益预期,从而使得优化结果更加稳定和准确。因此,该模型是将历史数据法和情景分析法结合起来。在考虑未来的不确定性时,应加入个人主观意见,只有当投资人有主观意见时才会承担风险;相对的,当投资人的主观意见越强时,也就必须承担愈高的风险。因此,在B-L模型中,所有的预期报酬率反应了投资人的主观预期以及该预期的强烈程度。

1.资本市场的隐含收益率

在资产组合问题中,我们有如下结论:如果市场的无风险利率为,则最优的资产组合由如下公式给出:

 1

其中

最优组合就是切点组合,当资本市场处于均衡状态时,该组合也是市场组合。或者说一致。(1)变形得:

,或者

,等式两边分别包含了市场组合的收益与风险。Sharpe给出了隐含风险回避系数的定义:

这样,对于任意资产的隐含超额预期收益率可以写成:

2

其中,

当市场处于均衡状态的时,投资者持有市值加权的组合。通过观察市场组合的回报和方差,可以推出市场的风险回避系数。前面的推导表明,根据收益率的协方差矩阵,就可以计算出每种资产的隐含超额预期收益率

 

取市场的风险回避系数=3,根据观察到的市场组合(市场各股票的权重),就可以由公式(2)得到资本市场的隐含超额收益率

 

2.投资者信念与资本市场预期

Black-Litterman模型的关键是引入主观预期,重新估计资产的期望收益率,然后就可以使用与传统的均值方差模型相同的方法来计算最优的资产组合权重。Black-Litterman模型的特点就是当投资者对某项资产具有正即乐观(或负,即悲观)的看法时,体现在资产组合调整上就是该类资产的相对增持(或减持)。如果风险分析的结果不能令投资者满意,则可以调整风险控制目标和投资者对看法的置信度,重复上面的过程,最终得到令投资者满意的最优资产组合。

在经典模型中,投资者具有相同预期。但在实际的市场上,投资人可以根据特殊的信息优势,以相对或绝对的方式表示对某些资产的看法,同时投资者对看法会有误差存在,所以信心水准不必为100%。在B-L 模型下,投资者对市场的看法表达比较灵活。同时投资者在表达自己的看法时,也可以加入自己的置信度。

我们假设投资者有三个主观观点,来举例说明Black-Littleman模型:(1)认为在未来三个月,小盘价值股的收益率为5%,该看法的置信度为50%;(2)公司债市场相对于国债市场,超额收益率为1%,该看法的置信度为90%;(3)大盘成长、小盘成长板块分别相对大盘价值、小盘价值板块而言,有2%的超额收益,该看法的置信度为10%

3.计算资产的期望回报

根据B-L模型,期望回报为:

  3

其中,E[R]= 引入投资者主观预期后的资产超额收益率向量 (n x 1 列向量)是一个单位调整数。是收益率协方差矩阵(n x n 矩阵)是表示投资者看法所涉及的资产的标示矩阵,如果投资者对市场的观点数为kk x n 矩阵,当只有一个看法时,当只有一个看法时***1522;1 x n 行向量。表示投资者看法的置信度的误差的对角协方差矩阵 (k x k 矩阵)是隐含的均衡收益率向量 (n x 1 列向量)是投资者看法向量 (k x 1 列向量)

根据投资者的主观观点,可以得到矩阵。k x n 矩阵,即k个观点与n个资产。如果投资者的第个观点是针对第个资产,则第()个元素为1。如果投资者的信念是两个资产的相对收益率,则系数分别为1-1。特别地,如果投资者主观观念是两组资产的收益率,则系数是两组资产的权重之比,同时满足权重和为1的要求。

再来看的计算方法,是表示投资者看法的置信度的误差的对角协方差矩阵。在Idzorek2002)的研究中,首先决定由投资者看法矩阵P、收益率协方差矩阵共同构成的信心校准因子calibration factor)。

设投资者对第个观念的信心水平为,主观上信心水平可以分别用90%、50%及10%,表示投资者对看法的信心为高、中、低三种程度。对对角阵上的第个元素除以,就得到置信度,即信心水平低,则置信度高。

调整尺度的取值由除以对角线上元素的均值得到。

由公式(3)就刻有得到引入投资者主观预期后的资产超额收益率向量E[R]。与隐含的市场超额预期收益率相比,E[R]从三个方面反应了主观预期:(1)与隐含的超额收益率相比,小盘价值股的收益率更接近5%;(2)隐含的超额收益率中,公司债市场与国债市场收益率相等,引入预期后,公司债市场相对于国债市场的超额收益率扩大;(3)大盘成长、小盘成长板块分别相对大盘价值、小盘价值板块而言,引入主观预期后,更接近2%的超额收益。

 

由公式(1):,可以进一步简化为:

得到的新的资产配置反应了投资者的的主观预期。

Black-Litterman模型的直觉表述,就是一种资产的期望收益等于市场均衡收益和投资者主观期望收益的加权平均。市场均衡收益是市场中实际形成的收益,通过历史数据的分析可以获得;投资者主观的期望收益对于机构投资者而言,源于从上自下或者自下而上的基础分析,个人投资者可能来源于各种报刊杂志、网络、股评家等等。如果投资者对自己通过捕捉各种信息形成的主观判断信心很大,则主观的期望收益就会被赋予较大的权重,资产的期望收益就会向主观期望收益靠拢;反之,如果投资者对自己主观判断的信心不足,资产的期望收益就会接近于市场均衡收益。Black-Litterman模型将先验信息与历史信息结合起来,是一种典型的贝叶斯分析方法。